命題５
ある量はある量の同倍数で同じように引かれた部分は引かれた部分のの同倍数であるならば、余りもまた余りの同倍数で同じように全体は全体の同倍数である。
量ABが量CDの同倍数であり引かれた部分AEは引かれた部分CFの同倍数であるとする。
余りEBもまた余りFDの同倍数であり全体ABは全体CDの同倍数であることをいう。
EBがCGの同倍数であるようなCGを作りAEはCFの同倍数であるであるようにつくる。
それから、AEはCFの同倍数でありEBはGCの同倍数であるから、それゆえにAEはCFの同倍数でありABはGFの同倍数である。propositionⅤ．１
しかし、仮定によって、AEはCFの同倍数でありABはCDの同倍数である。
それゆえにABはそれぞれGFとCDの同倍数である。それゆえにGFはCDと等しい。
それぞれからCFを引く。余りGCは余りFDと等しい。
そして、AEはCFの同倍数でありEBはGCの同倍数であり、GCはDFと等しいから、それゆえにAEはCFの同倍数でありEBはFDの同倍数である。
しかし、仮定によって、AEはCFの同倍数でありABはCDの同倍数であるから、それゆえにEBはFDの同倍数でありABはCDの同数倍である。
つまり、余りEBは余りFDの同数倍であり全体ABは全体CDの同倍数である。
それゆえに、ある量はある量の同倍数で同じように引かれた部分は引かれた部分の同倍数であるならば、余りもまた余りの同倍数で同じように全体は全体の同倍数である。
証明終了